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Wyx et mathématiques



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Bien que n'étant pas à proprement parlé un jeu mathématique, le jeu de grille Wyx permet d'aborder plusieurs notions mathématiques.
Dans cet article, nous ferons des liens entre le jeu Wyx et les notions de graphes et de vecteurs.
La grille de jeu ci-dessus nous servira de support pour illustrer ces liens et pour mettre en évidence des manières rigoureuses et certaines d'aboutir à sa résolution.

I- Wyx et la théorie des graphes

La recherche de la solution d'une grille Wyx peut se ramener à la recherche d'une chaîne "arc-en-ciel" passant par tous les sommets d'un graphe coloré.
En effet, il suffit d'attribuer à l'emplacement du cavalier et chaque cercle un nom (lettres X, A, B, C, ... L), puis à chaque domino une couleur comme ci-dessous:

Le point de départ de la chaîne est le point X.
En mettant bout à bout les douze sauts imposés pour n'en faire qu'un, on obtient un saut global qui peut être symbolisé par le domino . On en déduit que la fin de la chaîne est la lettre J.
On peut alors construire le graphe suivant :
Par exemple, le domino rouge permet au cavalier de sauter du cercle C au cercle D, ou de D à G, ou de H à I.
Ces trois possibilités (il n'y en a pas d'autre) sont représentées par les trois flèches de couleur rouge.

Il suffit de faire de même pour les autres couleurs, en prenant garde de n'oublier aucune flèche.

On peut aussi représenter ce graphe directement sur la grille de jeu, mais c'est beaucoup moins lisible.
Le problème revient, en partant de la lettre X et en suivant les flèches, à trouver le chemin qui mène à la lettre J en passant une et une seule fois par les douze autres lettres et en utilisant chacune des douze couleurs.
Mais le problème reste tout aussi compliqué. D'où l'intérêt de représenter ce graphe sous forme d'un tableau à double entrée comme ci-dessous:
On peut alors appliquer l'algorithme suivant qui mène à la solution :

On répète tant que cela est possible, au choix, l'une des deux séquences d'instructions ci-dessous :
Séquence 1 :
  • Repérer une couleur qui ne figure qu'une seule fois dans le tableau et l'entourer.
  • Sur la même ligne et dans la même colonne que la couleur entourée, éliminer en les barrant toutes les autres couleurs.
Séquence 2 :
  • Repérer une ligne ou une colonne qui ne contient qu'une cellule colorée non barrée et entourer cette cellule.
  • Barrer toutes les autres cellules de la même couleur ainsi que les autres cellules qui se trouvent dans la même ligne ou colonne que la cellule entourée.
Après la réalisation d'une première séquence d'instructions (séquence 1), en ayant repéré que la couleur grise figure en un seul exemplaire dans le tableau on obtient :

Puis en remarquant que sur la colonne B il n'y a qu'une seule cellule colorée (jaune), on applique la séquence 2 et on obtient :

Après la répétition de douze séquences (1 ou 2) on obtient finalement :
On peut ainsi reconstituer la chaîne arc-en-ciel et numéroter le parcours du cavalier Wyx :
XFABHI CEDKLGJ.


Quelques liens en rapport avec la théorie des graphes:
Introduction à la théorie des graphes par Didier Müller
Références sur la théorie des graphes par Didier Müller
Graphes "Arc-en-ciel" par Jean-Paul Dalavan

II- Wyx et les vecteurs

Après avoir choisi deux vecteurs de base, chaque domino peut être représenté par un vecteur qui s'exprime à l'aide de ces deux vecteurs de base.
Il suffit ensuite d'écrire pour chacun des 12 vecteurs, ses différentes notations à l'aide des points repérés sur la grille.
Voir la figure ci-dessous :

En faisant la somme des 12 vecteurs on obtient le vecteur qui s'écrit et par conséquent le parcours se termine à la lettre J.
Le problème consiste donc à écrire le vecteur comme une somme de 12 vecteurs, à l'aide de la relation de Chasles de telle manière que chacun des 11 points A, B, C, D, E, F, G, H, I, K , L soient l'extrémité et l'origine de deux vecteurs consécutifs de cette somme.
On commence par rayer toutes les écritures de vecteurs qui ont pour origine J :
Puis on applique 12 fois de suite au choix l'une des deux séquences d'instructions qui correspondent à celle décrites dans la partie Graphe :
Exemple de séquence 1
Le vecteur n'a qu'une seule écriture, on entoure donc cette écriture et on raye toutes les écritures de vecteurs d'origine F ou d'extrémité A :
Exemple de séquence 2
On entoure qui est la seule écriture de vecteur qui a pour extrémité B et on raye toutes les autres écritures du vecteur ainsi que toutes les écritures de vecteurs qui ont pour origine A.

Après 10 autres utilisations de séquences 1 ou 2, il ne reste plus pour chacun des 12 vecteurs qu'une seule écriture :

On peut ainsi écrire la relation de Chasles suivante:

Le parcours du cavalier Wyx est ainsi reconstitué.


Quelques liens en rapport avec les vecteurs:
Le jeu Translation à l'origine du jeu Wyx.
Les vecteurs sur Wikipédia
Historique de la notion de vecteur par Serge Mehl
Les vectominos : Jouer avec les sommes de vecteurs (IREM de Caen).
La course de vecteurs : La version informatique d'un jeu des années 60

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